APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS: marzo 2017

Identificar cuándo una función es creciente o decreciente, utilizando la gráfica de una función continua.

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función y = f(x) se obtienen a partir de la primera derivada de la función por la siguiente regla: (a) f crece en un intervalo (a, b) si f 0 (x) > 0 para todo x en (a, b). (b) f decrece en un intervalo (a, b) si f 0 (x) < 0 para todo x en (a, b). Los puntos extremos de intervalos en donde cambia el signo de la derivada son los máximos o mínimos, según la derivada cambie de positiva a negativa o de negativa a positiva, respectivamente. En resumen: (a) Un punto x0 del dominio de la función corresponde a un máximo local o relativo si existe un intervalo (x0 − δ, x0) en donde f crece y otro intervalo (x0, x0 + δ) en donde f decrece. (b) Un punto x0 del dominio de la función corresponde a un m´ınimo local o relativo si existe un intervalo (x0 −δ, x0) en donde f decrece y otro intervalo (x0, x0 + δ) en donde f crece. Los máximos y mínimos locales se encuentran entre los llamados puntos singulares o críticos, es decir, puntos del dominio de la funcionen donde la derivada se anula o no existe.

Aplicar la derivada de una función para ubicar sus extremos relativos, utilizando los criterios correspondientes.

Definición.-

Una función f tiene un máximo relativo (o local) en c si existe un intervalo abierto I en el dominio de f que contiene a c tal que f (c) es el valor máximo absoluto en el intervalo.
Una función f tiene un mínimo relativo (o local) en c si existe un intervalo abierto I en el dominio de f que contiene a c tal que f (c) es el valor mínimo absoluto en el intervalo.

Hablaremos de extremos relativos para referirnos conjuntamente a los máximos y mínimos relativos. Una de las importancias de los extremos relativos es que nos ayudará a localizar los extremos absolutos de una función. Por ejemplo, en el caso de una función continua definida en un intervalo cerrado, si el máximo absoluto no se alcanza en un extremo del intervalo entonces ese máximo ocurre en un extremo relativo. El problema que trataremos, en lo que sigue, es centrar la búsqueda de los puntos x donde se alcanzan los extremos relativos. Los extremos relativos son fáciles de localizar a través de la derivada. De una manera gráfica podemos decir que los máximos relativos son la cimas de la gráfica y los mínimos relativos son los valles.

En la figura observamos la gráfica de una función f tal que f (e) es el valor máximo absoluto de f. El valor f (c) no es el máximo absoluto, sin embargo podemos apreciar un intervalo abierto que contiene a c tal que f (c) es el valor máximo absoluto de la función en ese intervalo. Este valor es un valor característico de la función y nos referiremos a él como un valor máximo relativo o local de la función. De manera similar hablaremos de un valor mínimo relativo ) f (d si este valor es el mínimo que tiene ) f (x para x cercanos a d. A continuación damos la definición formal.

Aplicacion Practica Primera Derivada

Aplicacion Practica Segunda Derivada

Aplicar la derivada de una función para decidir cuándo una función es creciente o decreciente, desarrollando los criterios correspondientes

Sea f una función continua con ecuación , definida en un intervalo .
La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo .

En la representación gráfica anterior puede observarse que la función f es:

Creciente en los intervalos $]a,x_{3}[$ , $]x_{5},x_{6}[$
Decreciente en los intervalos $]x_{3},x_{5}[$ , $]x_{6},b[$

También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la funciónf crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece.

Note además que en los puntos $(x_{3}, f(x_{3}))$ , $(x_{5},f(x_{5}))$ y $(x_{6},f(x_{6}))$ la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos.

En los siguientes teoremas se formalizan las apreciaciones anteriores.

	Teorema 1
	Sea f una función continua en un intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto . Si para toda x en , entonces la función f es creciente en . Si para toda x en , entonces la función f es decreciente en . Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplos:

Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación $f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}(x^2-4x+1)$ .

Para ello calculemos la primera derivada de .

Como $f'(x)>0 \Leftrightarrow x-2>0$ , o sea si , entonces f es creciente para .

Como $f'(x)<0 \Leftrightarrow x-2<0$ , o sea si , entonces f es decreciente para .

En la representación gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.
Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación $f(x)=x^2+\displaystyle\frac{1}{x^2}$ con $x\neq0$ .

La derivada de f está dada por $f'(x)=2x- \displaystyle\frac{2}{x^3}$ que puede escribirse como $f'(x)=\displaystyle\frac{2(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^3}$

Como  es positivo para toda x en $I \! \! R$ entonces:

$f'(x)>0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{(x-1)(x+1)}{x^3} >0$              y

$f'(x)<0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{(x-1)(x+1)}{x^3} <0$

Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.

Luego:  si $x \in ]-1,0[ \; \cup \; ]1,+\infty[$ por lo que la función f crece en el intervalo $]-1,0[ \; \cup \; ]1,+\infty[$ .

Además:  si $x \in ]-\infty,-1[ \; \cup \; ]0,1[$ de donde la función f decrece en el intervalo $]-\infty,-1[ \; \cup \; ]0,1[$ .

La representación gráfica de la función es la siguiente:
Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación $f(x)= \displaystyle\frac{x+1}{x-1}$ , con $x\neq 1$ .

La derivada de f es $f'(x)=\displaystyle\frac{-2}{(x-1)^2}$ .

Como es mayor que cero para x en $I \! \! R$ , $x\neq 1$ , y además entonces para todo x en $I \! \! R$ $(x\neq 1)$ , por lo que la función f es decreciente para x en $I \! \! R$ , $x\neq 1$ . La siguiente, es la representación gráfica de dicha función:

Aplicar las derivadas primera y segunda de una función, para estudiar la concavidad y puntos de inflexión, desarrollando ejercicios.
.

Primera Derivada

Segunda Derivada

Aplicar la Regla Básica de L Hospital en la resolución de lìmites de formas indeterminadas

La regla de L´Hôpital permite resolver muchos casos de indeterminación de límites de funciones en un punto x = a. En principio la vamos a enunciar así:

Un límite indeterminado de la forma:

valdrá L, en caso de que también sea L el límite en x=a del cociente de las derivadas de numerador y denominador, es decir:

De esta manera podemos resolver indeterminaciones del tipo 0/0. Veamos un ejemplo.

EJEMPLO 1: Hallar el límite:

este límite tiene la forma indeterminada 0/0, por tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital:

límite que sigue teniendo la forma indeterminada 0/0, pero a la cual se puede volver a aplicar la regla de L'Hôpital:

que es en definitiva el valor del límite.

Pero la regla de L'Hôpital es mucho más general, pues es aplicable no sólo a la indeterminación 0/0, sino también a las indeterminaciones: / , 0×, -.

Por ejemplo, una indeterminación del tipo /, provendrá de un límite de la forma:

en donde las dos funciones f(x) y g(x) tiendan a infinito en x=a, y este límite obviamente no varía si lo expresamos en la forma:

y ahora sí tiene la forma 0/0. En definitiva, la indeterminación / no es diferente de la 0/0.

EJEMPLO 2: Hallar el límite:

Este límite en principio toma la forma indeterminada /, y lo resolvemos aplicando directamente la regla de L'Hôpital:

OBSERVACIÓN: No es necesario pasar el límite a la indeterminación 0/0 ántes de aplicar la regla de L'Hôpital. Si bien (f '/g') es distinto de (1/g)'/(1/f '), en cambio no son diferentes para nuestro caso de límites en el punto x=a.

En cuanto a las indeterminaciones del tipo 0×, aparecen en límites de productos de funciones f(x)×g(x) cuando una de ellas, p.ej. la f(x) tiende a 0, y la otra, la g(x), tiende a . En este caso nosotros expresaremos el límite en la forma:

y como 1/g(x) tenderá a 0, se obtiene la forma típica 0/0, a la cual se puede aplicar directamente la regla de L'Hôpital.

EJEMPLO 3: Hallar el límite:

Este límite tiene la forma 0×, por lo tanto, operamos como hemos dicho:

habiendo expresado la inversa de la tangente como la cotangente, cuya derivada es: - 1/(seno)², esto es:

Otro tipo de indeterminación susceptible de realizarse por la regla de L'Hôpital es la forma -, que aparece en límites de una resta, es decir, cuando tenemos: f(x) - g(x), y ambas funciones en x=a se hacen +. Para este caso hay que tener en cuenta la siguiente identidad:

y si en en x=a las funciones f y g son infinito, la expresión con sus inversas será 0, por lo que f-g equivaldrá a 0/0; no obstante para aplicar la regla de L'Hôpital, en este caso deberemos transformar f-g como una expresión que incluya un cociente, tal como en el ejemplo siguiente:

EJEMPLO 4: Hallar el límite:

Este límite tiene la forma -, y ántes de aplicar la regla de L'Hôpital debemos ponerlo en forma de cociente:

así expresado el cociente tiene la forma 0/0, y se puede aplicar esta regla:

Finalmente, vamos a ver unos ejemplos en los que la regla de L'Hôpital ha de aplicarse sobre el exponente. Se trata de indeterminaciones del tipo: 0°, °, , que proceden de límites de una función f(x) elevada a otra función g(x), para su resolución es conveniente tener en cuenta la siguiente identidad:

teniendo en cuenta esta identidad, la cual suele escribirse por comodidad: A = exp(log A), podemos poner:

y ahora si estamos hallando un límite en x=a de esa función exponencial, nosotros calcularemos el límite en el exponente, es decir, dentro del paréntesis de "exp", en concreto el límite de (g×log f), el cual puede ser, por ejemplo, de la forma 0×, cuya forma de resolverse es la del ejemplo 3.

EJEMPLO 5: Hallar el límite:

Este límite tiene la forma indeterminada 0°, y tal como hemos dicho, puede expresarse:

en el interior del paréntesis (la exponencial) tenemos una indeterminación 0×, y ahora procederemos así:

NOTA: Algunos, este tipo de límites los suelen hacer de otra manera -equivalente a la que hemos visto aquí- que vamos a pasar a exponer:

Partiendo de la equivalencia:

y ahora resuelven el límite de (g×log f) por la regla de L'Hôpital, tal como lo hacemos aquí, y si el resultado de este límite es "A", entonces:

log y = A

por tanto, el límite pedido, y, será e elevado a ese número A. En nuestro ejemplo 5, como el límite de (g×log f), es decir, el límite de (3x . log x) es 0, el límite pedido es e "elevado a 0", como ya lo hemos visto ántes.

jueves, 2 de marzo de 2017